Durante las clase de pensamiento lógico heurístico y creativo, en el transcurso de ésta semana anterior, estuvimos resolviendo un problema del libro de Polya, el cual es el siguiente:



Encontrar el punto donde se interseca la parábola y una línea recta dada, cuyo foco y directriz son dadas.
La representacion del problema en el libro de Polya

De ckick en la parte de arriba para que pueda observar la imagen

Primeramente dimos el primer paso el cual es entender el problema, conocer los datos que se nos dan y determinar la incognita. Los datos son la linea recta $C$, el foco $F$ y la directriz $D$, nuestra incognita es el punto $P$.

Analizando el problema desde otra perspectiva, mediante el plano cartesiano tenemos la representación.
de click en la parte de arriba para que pueda observar la imagen. Disculpen por darles la molestia de observar la imagen en otra página, pero no se pudo colocar en está página.

Como se observa ahora podemos dar las cordenadas de los datos , entonces tenemos que las cordenadas del Foco son $(o,f)$, la ecuacion de la recta C es $y=mx+b$, las cordenadas de $D$ son $(x,0)$y las de $P$ son $(x,y)$. Sabemos que FP=PQ, por la definición de parábola.

Ahora con todo lo recobado podemos comenzar a solucionar el problema.

Por el teorema de Pitágoras tenemos que:

$y^2=x^2+(y-f)^2$

Desarrollando el binomio al cuadrado tenemos:

$x^2-2fy+f^2=0$

Sustituyendo el valor de y tenemos que:

$x^2 - 2f (mx+b)+ f^2 =0$

$(x-fm)^2=2fb + (fm)^2 - f^2$

Simplificando:

$x=fm+\sqrt{f2b+(m^2-1)f} $

Esta es la solución final:

$x,y=fm^2 + \sqrt{f2b + (m^2-1)f} m+b$

ESTE ES EL ZUDOKU RESUELTO

La solución del zudoku que el profesor Cantoral nos pidio que resolvieramos, es la que se encuentra en la parte de abajo.

Fue sadisfactorio terminarlo, despues de varios intentos. Hubo una ocación en que ya lo veía resuelto, así que le pedí a Noemí y a Nayeli, mis compañeras de clase, que porfavor lo revisaran. Me hicieron ver que no lo había resuelto ya que había repetido dos números , (como sabemos las reglas de este juego es que no se repita ningún número del 1-9 en las líneas horizontales, verticales ni en las regiones de tres), pero gracias a que me hicieron ver mi error, en mis siguientes intentos fuí más cuidadosa en observar que números ya estaban en la región tres en las líneas horizontales y verticales, y de esta manera logre llegar a la solución.

9	2	6	3	8	5	7	4	1
5	4	3	9	7	1	2	8	6
8	1	7	4	6	2	3	5	9
1	9	2	7	4	3	5	6	8
7	8	5	6	2	9	4	1	3
6	3	4	1	5	8	9	7	2
4	7	9	8	3	6	1	2	5
2	6	1	5	9	7	8	3	4
3	5	8	2	1	4	6	9	7

DEMOSTRACION DE LOS SUBCONJUNTOS DE UN CONJUNTO

Si tenemos un conjunto con $n$ elementos, entonces el numero de subconjuntos es igual a $2^n$.

Acontinuación se explica la demostración por inducción matemática

Base de la hipotesis: Demostramos que esta propiedad se cumple para n=0, n=1 y n=3

REPRESENTACIÓN
1. n= 0

x = 2^0 =1 ...............................................U= { }

2. n= 1

x = 2^1 = 2 ................................................ U={ { }, {1} }

3. n = 2

x = 2^2 = 4 .................................................U ={ { }, {1}, {2}, {1,2} }

4.n=3

x = 2^3 = 8 ...................................................U= { { }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} }

Como se observa esta propiedad se cumple para $n=0$; $n=1$;$n=2$ y $n=3$.

Hipotesis de la induccion:

Supongamos que para n= k - 1 se cumple que X_{k-1}=2^{K-1}

Paso inductivo: demostremos que la propiedad se cumple para $n = k$

Por definición tenemos que:

{x_k-1} = 2 (x_k-1)

x_k = 2 (2^{k-1})

x_k= 2^k se cumple, por lo que el número de subconjunto de un conjunto n es igual a 2^n

Para realizar ésta demostración me base en una demostración que realizamos en cálculo en la cual aplicamos la demostración por inducción matemática.