Durante las clase de pensamiento lógico heurístico y creativo, en el transcurso de ésta semana anterior, estuvimos resolviendo un problema del libro de Polya, el cual es el siguiente:



Encontrar el punto donde se interseca la parábola y una línea recta dada, cuyo foco y directriz son dadas.
La representacion del problema en el libro de Polya

De ckick en la parte de arriba para que pueda observar la imagen

Primeramente dimos el primer paso el cual es entender el problema, conocer los datos que se nos dan y determinar la incognita. Los datos son la linea recta $C$, el foco $F$ y la directriz $D$, nuestra incognita es el punto $P$.

Analizando el problema desde otra perspectiva, mediante el plano cartesiano tenemos la representación.
de click en la parte de arriba para que pueda observar la imagen. Disculpen por darles la molestia de observar la imagen en otra página, pero no se pudo colocar en está página.

Como se observa ahora podemos dar las cordenadas de los datos , entonces tenemos que las cordenadas del Foco son $(o,f)$, la ecuacion de la recta C es $y=mx+b$, las cordenadas de $D$ son $(x,0)$y las de $P$ son $(x,y)$. Sabemos que FP=PQ, por la definición de parábola.

Ahora con todo lo recobado podemos comenzar a solucionar el problema.

Por el teorema de Pitágoras tenemos que:

$y^2=x^2+(y-f)^2$

Desarrollando el binomio al cuadrado tenemos:

$x^2-2fy+f^2=0$

Sustituyendo el valor de y tenemos que:

$x^2 - 2f (mx+b)+ f^2 =0$

$(x-fm)^2=2fb + (fm)^2 - f^2$

Simplificando:

$x=fm+\sqrt{f2b+(m^2-1)f} $

Esta es la solución final:

$x,y=fm^2 + \sqrt{f2b + (m^2-1)f} m+b$