NOTA:

Demostrar que $\frac{3}{2}(N^2)^\frac {1}{3} >1+\frac{1}{2^\frac{1}{3} } + . . . +\frac{1}{N^\frac{1}{3}}$
1.Veamos si se cumple para $n=1$

$\frac{3}{2} (1^2)^\frac{1}{3}=>1$
$\frac{3}{2}>1$ si se cumple

2.Ahora comprovemos si se cumple para $N+1$, debemos de comprobar la siguiente expresión.

$\frac{3}{2} N^\frac{2}{3}+ (N+1)^\frac{2}{3} >\frac{3}{2} N^\frac{2}{3} +\frac{1} {(N+1)^\frac{1}{3}}$

Para inniciar nuestra demostración plateremos la siguiente desigualdad la cual es cierta :

$\frac{N}{3}+\frac{1}{27}>0$

Sumemos a ambos miembros $N^3+N^2$.

$N^3+N^2+\frac{N}{3} > N^3+N^2$

Esta inecuación la podemos expresar de la siguiente manera

$N^3 +3 N^2 (\frac{1}{3}) + 3N (\frac{1}{3})^2 + (\frac{1}{3})^3 > N^3 (1+\frac{1}{N}$

Factorizando obtenemos:

$(N + \frac{1}{3})^3> N^3 (N + \frac{1}{N})$

Sacamos raíz cúbica a ambos miembros tenemos:

$N+ \frac {1}{3}>N (1+ \frac{1}{N})^\frac{1}{3}$

Sumamos a ambos miembros $\frac{2}{3}$

$N+1 > N(1+ \frac{1}{N})^\frac{1}{3} + \frac {2}{3}$

$N+1 > (N+1)^\frac{1}{3} N^\frac{2}{3} +\frac{2}{3}$

Multiplicamos por $\frac{3}{2}$ a ambos miembros obtenemos la siguiente inecuación:

$\frac{3}{2} (N+1) >\frac {3}{2}(N +1)^\frac{1}{3} N^\frac{2}{3} +1 $

Multiplicamos ambos miembros por $\frac {1}{(N+1)^\frac{1}{3}}$ Tenemos:

$\frac{3}{2} (N+1)^\frac{2}{3} > \frac {3}{2} N^\frac{2}{3}+ \frac{1} {(N+1)^\frac{1}{3}}$
Lo que queriamos demostrar